البرهان الرياضى من أهم المفاهيم التى تؤثر على تقدم الطلبة فى
تحصيل الرياضيات, و فى هذه المقدمة نحاول القاء الضوء على المنطق الرمزى الذي يشكل
اساس البرهان الرياضى.
تعريف
المنطق:
النطق عبارة
عن الأصوات المقطعة التى يظهرها اللسان و تعيها الآذان أما المنطقيون فيطلقون كلمة
النطق على تلك القوة التى يكون النطق بها, وهى موجودة فى الإنسان خاصة وتسمى العقل
أو الفكر ومن هنا نشاهد بأنهم عرفوا الإنسان بأنه "حيوان ناطق".
والمقصود
بالحيوان ، الموجود الحي، وبالناطق، العاقل المفكر.
فإذا
المقصود من النطق هنا التعقل الذى هو من مميزات الإنسان. والمنطق هو العلم الذى
يرتبط بهذا الأمر.
المعنى
الإصطلاحى للمنطق:
المنطق هو
قانون التفكير الصحيح
أو هو علم
يبحث عن القواعد العامة للتفكير الصحيح.
الأسس
المنطقية للبرهان الرياضى:
هناك نوعان من الجمل، الجملة الإنشائية و الجملة الخبرية.
الجملة الخبرية هى الجملة التى تحتمل الصواب أو الخطأ ومن امثلتها :
·
أحمد استعد للإمتحان
جيدا.
·
تسير السيارة بسرعة
100 مترا فى الساعة.
·
15 يقبل القسمة على 2.
·
غزة مدينة فلسطنية.
أما الجملة الإنشائية فهى الجملة التى لا تحتمل الصواب أو الخطأ
ومن امثلتها :
·
ماذا تفعل يا محمد.
·
إدرس يا على.
·
ما أجمل هذه الجامعة.
الجمل الخبرية هى
التى يتعامل معها المنطق الرمزى الذى يعتمدد عليه البرهان الرياضى. فمكونات
الرياضيات من مسلمات و قواعد و نظريات و مسائل، جميعها جمل إخبارية، و سوف نشير
إلى الجملة الإخبارية ب "التقرير".
المنطق الرمزى:
المنطق الرمزى هو
مجموعة القواعد و الأساليب التى تستخدم للحكم بما إذا كان استنتاج تقرير ما من
تقرير أو تقارير سابقة عليه ممكن أم لا. و من ثم فإن المنطق الرمزى لا يختار ولا
يحدد سلسلة التقارير التى يمكن إستخدامها
في البرهان الرياضى، ولكن إذا ما تم أختيار هذه السلسلة, يكون دور المنطق
عندئذ هو تحديد إمكانية استنتاج هذه السلسلة بعضها من بعض. و بذلك فالمنطق الرمزي
يتعلق بالشكل وليس بالمضمون، و مهما كان معنى التقارير المستخدمة، ومهما كانت
النتيجة التى نصل إليها بالمنطق الرمزي مخالفة للبداهة و الحدس ، فإن هذا
الإستنتاج الذى أوصلنا إلى هذه النتيجة يكون صحيحا من حيث الشكل، مادام التسلسل
الذى أستخدم في الاستنتاج كان مطابقا لقواعد المنطق الرمزي و أساليبه.
مثال(1)
المعطيات :
1. جميع
الطالبات متفوقات.
2. فاطمة
طالبة.
النتيجة:
3. فاطمة
متفوقة.
تسمى هذه الصورة
ب" القضية المنطقية".
أهم قوانين البرهان
الرياضى:
يتكون البرهان
الرياضى من تطبيقات كل من القانونين التاليين:
·
قانون التعويض:
يمكن في اي مرحلة من
مراحل البرهان ، التعويض عن أي تقرير بتقرير أخر يكافئه منطقياً.
·
قانون الإستنتاج:
إذا كان أ صوابا، وأ ب صواباً ، فإنه يمكن إستنتاج أن ب
صواباً.
اساليب
البرهان الرياضى
اساليب البرهان
الرياضى عديدة، وأهمها ما يلى:
·
البرهان المباشر
في البرهان المباشر
نعتمد على المعطيات كما هى، و نحاول عن طريق تطبيق قواعد الإستنتاج و التعويض و
التعميم برهنة صواب استنتاج المطلوب.
·
البرهان غير المباشر
يعتمد البرهان غير
المباشر على الوصول إلى تعارض مع تقرير صواب-مثل مسلمة او نظرية او تعريف- و ينتج
هذا التعارض من افتراضنا عدم صواب التقرير المطلوب برهنته.
·
البرهان بالحذف
يمكن إعتبار البرهان
بالحذف امتدادا للبرهان غير المباشر، حيث أن كليهما يعتمد على الوصول لتعارض، ففى
حالة البرهان غير المباشر تقتصر الإحتمالات الممكنة على احتمالين، يقود احداهما إلى
تعارض. أما في البرهان بالحذف فتكون جميع الإحتمالات الممكنة مطروحة، و يستبعد
منها جميع الإحتمالات التى لم ترد في المطلوب عن طريق اثبات انها تقود الى تعارض.
·
البرهان بالوصول إلى
مخالفة (مثال عكسي).
لبرهنة خطأ تقرير ما يعطى مثال يثبت عدم صحة هذا
التقر
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق
أكتب تعليقاً على الموضوع